246章 导修课（1/5）

研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下

“巴拿赫空间x的一个非空子集c称为逼近紧的，是指对任意{xn}∞n1∈c及任意y∈x，如果使得

‖xny‖→dist（y，c）f{‖xny‖x∈c}，

那么{xn}∞n1就存在一个柯西列，称x是逼近紧的，且x的每个闭凸子集是逼近紧。”

“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间x是逼近紧的当且仅当它具备dro性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。

巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。